整理 NOI 初赛资料目录并标准化 CSP-J 模拟卷
- 将18套模拟卷分离为试题和答案解析，补齐并规范逐题解析 - 补充SVG图示，统一试题排版并导出打印PDF - 重整初赛专题训练与复习资料目录，清理旧版源文件
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<center><font size="6"><b>CSP-J 初赛模拟卷（第 08 套）</b></font></center>
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<center><font size="4"><b>参考答案与解析</b></font></center>
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#### **一、单项选择题**
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**答案速查**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | D | B | D | A | A | A | A | B |
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| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | D | C | B | B | D | C | A |
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**逐题解析**
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##### 第1题
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**答案：** D
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**解析：** 蓝牙、Wi-Fi 和 GPRS 均属于无线通信技术；本题中的以太网指常见的有线局域网技术。
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##### 第2题
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**答案：** B
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**解析：** 8 位补码的最高位为符号位。该数表示的十进制值为 $-2^7+2^5+2^3+2^1+2^0=-128+32+8+2+1=-85$。
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##### 第3题
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**答案：** D
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**解析：** 光盘、磁盘和固态硬盘均可保存数据；鼠标用于输入操作信息，不属于存储设备。
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##### 第4题
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**答案：** A
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**解析：** 编译器将源程序翻译为目标代码，供计算机进一步链接或执行，本题对应将源程序翻译成机器指令代码。
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##### 第5题
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**答案：** A
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**解析：** `s` 先被赋为 `a`，随后循环执行 `c` 次减一操作，因此最终为 `s=a-c`。
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##### 第6题
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**答案：** A
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**解析：** 将元素两两分组，先比较每组大小，再分别在较大元素中找最大值、在较小元素中找最小值，最坏情况下共需 $\lceil3N/2\rceil-2$ 次比较。
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##### 第7题
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**答案：** A
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**解析：** 三个数字各不相同时有 $3!=6$ 种。数字 `1` 出现两次时，另一位可选 `2` 或 `3`，共 $2\times3=6$ 种；数字 `2` 出现两次时同样有 $6$ 种。合计 $18$ 种。
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##### 第8题
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**答案：** B
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**解析：** 先令新结点的 `next` 指向原栈顶 `hs`，再令 `hs` 指向新结点 `s`，即依次执行 `s->next=hs; hs=s;`。
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##### 第9题
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**答案：** D
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**解析：** 有 $n$ 个顶点的树恰有 $n-1$ 条边。原图有 $m$ 条边，保留一棵生成树后需删除 $m-(n-1)=m-n+1$ 条边。
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##### 第10题
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**答案：** C
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**解析：** 球和袋子都不可区分，等价于将 $8$ 分拆为至多 $5$ 个正整数。按非空袋子数 $1,2,3,4,5$ 分类，分别有 $1,4,5,5,3$ 种，共 $18$ 种。
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##### 第11题
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**答案：** B
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**解析：** 高度为 $h$ 的完全二叉树满足 $2^{h-1}\le n\le2^h-1$。因为 $32\le61\le63$，所以高度为 $6$。
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##### 第12题
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**答案：** B
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**解析：** $10000=2^4\times5^4$。在 $1$ 至 $10000$ 中，去掉能被 $2$ 或 $5$ 整除的数，并加回被重复扣除的 $10$ 的倍数，得到 $10000-5000-2000+1000=4000$ 个。
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##### 第13题
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**答案：** D
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**解析：** 前两轮只将 `n` 增加到 $1$、$2$。第三轮 `n=3`，满足 `n%3==0`，执行 `k--` 后 `k=3`；循环条件 `n<k` 不再成立，输出 `3,3`。
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##### 第14题
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**答案：** C
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**解析：** 操作系统负责管理 CPU、内存、外部设备等硬件资源，并为程序运行和用户操作提供统一的管理与服务。
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##### 第15题
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**答案：** A
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**解析：** 为避免 Jacob 看到照片，不能直接分享给他，也不能分享给他的朋友，否则这些朋友的评论会使照片对他可见。图中 Dana、Michael、Eve 符合条件，对应 A。
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#### **二、阅读程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 程序根据两球球心距离与半径关系，分别处理相离、包含及部分相交三种情形，计算两球交集体积。常数 `r=acos(0.5)=π/3`，最后保留四位小数。
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**答案速查**
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| 题号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | √ | × | × | √ | D | C |
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###### 第16题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 在题目给定坐标范围内，整数计算的距离平方可被 `double` 精确表示，后续计算数值不变，因此修改类型不影响结果。
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###### 第17题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 先除以 `sqrt(t)` 时会进行浮点除法；若先除以整数 $2$，分子可能先被整数截断，结果可能改变。
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###### 第18题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** `sq` 的形参为 `int`，把浮点数 `x、y` 传入时会先截断小数，与直接计算 `x*x、y*y` 不同。
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###### 第19题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 两球半径均为 $1$、球心距离为 $1$，交集体积为 $5π/12\approx1.3090$，与题述输出相同。
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###### 第20题
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**答案：** D
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**解析：** 两球球心均为 `(1,1,1)`，半径为 $1$、$2$，交集就是半径为 $1$ 的球，体积为 $4π/3\approx4.1888$。
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###### 第21题
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**答案：** C
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**解析：** 包含时取较小球体积，相离时输出零，部分相交时相加两个球冠体积，因此求的是两球体积的交集。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 当 $k>1$ 时，数组 `d` 模拟 $k$ 进制计数，`len` 为有效位数，`ans` 记录进位次数。因此 $\mathrm{ans}=\sum_{t\ge1}\lfloor n/k^t\rfloor$。当 $k=1$ 时应直接分析程序，此时每轮恰有一次进位，最终 `ans=n`。
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**答案速查**
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| 题号 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | × | √ | D | B | D |
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###### 第22题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 当 $k=1$ 时，第一轮使 `len` 变为 $2$，随后不再增加，因此 `len` 并不总等于 $n$。
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###### 第23题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 取 $n=1,k=2$，最终 `len=1`，并不小于 $n$，即可构成反例。
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###### 第24题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** `len` 是 $n$ 的 $k$ 进制位数，满足 $k^{\mathrm{len}-1}\le n<k^{\mathrm{len}}$，因此该不等式成立。
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###### 第25题
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**答案：** D
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**解析：** $k=1$ 时每次外层循环使 `ans` 加一，执行 $n$ 次后结果为 $n=10^{15}$。
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###### 第26题
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**答案：** B
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**解析：** 进位总数为 $3^{29}+3^{28}+\cdots+1=(3^{30}-1)/2$。
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###### 第27题
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**答案：** D
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**解析：** 按公式依次累加 $\lfloor n/10\rfloor、\lfloor n/10^2\rfloor$ 等，得到 $11112222444453$，对应 D。
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##### 程序（3）
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**程序分析：** 程序通过线性筛求约数函数。`f[x]` 是正约数个数，`g[x]` 是正约数之和，`c`、`d` 辅助维护最小质因子的幂次及其余部分。
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**答案速查**
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| 题号 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | √ | × | × | A | C | C |
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###### 第28题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** `f[1]=g[1]=1` 只为输入 $1$ 的结果提供初值；大于 $1$ 的项由质数分支或递推独立得到，因此其他输入不受影响。
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###### 第29题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** `c[i*k]` 等于 `i` 中相应质因子指数加一，恰是约数个数乘积公式中的一个因子，因此该除法能够整除。
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###### 第30题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 约数和也不单调，例如 `g[6]=12`，而 `g[7]=8`，由 $6$ 到 $7$ 反而减小。
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###### 第31题
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**答案：** A
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**解析：** 每个合数只由其最小质因子筛到一次，所有筛选与转移的总时间为 $O(n)$。
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###### 第32题
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**答案：** C
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**解析：** 正约数恰有两个的数正是质数，$1$ 至 $100$ 中共有 $25$ 个质数。
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###### 第33题
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**答案：** C
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**解析：** $1000=2^3\times5^3$，约数个数为 $(3+1)^2=16$，约数和为 $(1+2+4+8)(1+5+25+125)=2340$。
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#### **三、完善程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 将排列值映射到其原位置，按原位置建立双向链表，再按数值从小到大删除相应结点。删除某位置时，尚在其右边的最近结点就是该位置右侧第一个更大的元素。
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**答案速查**
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| 题号 | 答案 |
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| :---: | :--- |
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| 34 | `a[x] = i` |
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| 35 | `i+1` |
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| 36 | `R[a[i]]` |
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| 37 | `a[i]` |
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| 38 | `R[i]` |
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###### 第34题
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**答案：** `a[x] = i`
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**解析：** 读到位置 `i` 的值为 `x`，应记录值 `x` 所在的位置，即 `a[x]=i`。
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###### 第35题
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**答案：** `i+1`
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**解析：** 初始按位置顺序相连，位置 `i` 的右邻为 `i+1`，最后一个结点的右邻为哨兵 `n+1`。
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###### 第36题
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**答案：** `R[a[i]]`
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**解析：** 删除 `a[i]` 时，其右邻的左指针应越过该结点，故左侧下标为 `R[a[i]]`。
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###### 第37题
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**答案：** `a[i]`
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**解析：** 其左邻的右指针也应越过当前结点，接到 `R[a[i]]`，所填下标为 `a[i]`。
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###### 第38题
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**答案：** `R[i]`
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**解析：** `R[i]` 已保留位置 `i` 右边第一个更大元素的位置；不存在时为哨兵 `n+1`。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 程序从后向前枚举保留的后缀，维护后缀总分与最低分，删除最低分后计算平均分，记录达到最大平均分的前缀删除长度。
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**答案速查**
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| 题号 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | B | D | C | B |
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###### 第39题
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**答案：** C（`sum=s[n]`）
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**解析：** 开始枚举前，后缀只有最后一项，应令 `sum=s[n]`。
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###### 第40题
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**答案：** B（`sum+=s[i]`）
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**解析：** 将第 `i` 项纳入当前后缀后，需要执行 `sum+=s[i]`。
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###### 第41题
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**答案：** D（`(double)(sum-minScore)/(n-i)`）
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**解析：** 后缀含 $n-i+1$ 项，去掉最低分后剩 $n-i$ 项，平均分为 `(double)(sum-minScore)/(n-i)`。
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###### 第42题
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**答案：** C（`cnt=1;k[cnt]=i-1;`）
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**解析：** 发现更优平均分时，应清空此前候选，把当前删除的前缀长度 `i-1` 作为首个结果保存。
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###### 第43题
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**答案：** B（`k[++cnt]=i-1;`）
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**解析：** 平均分相同时追加当前答案，执行 `k[++cnt]=i-1`，保留所有达到最优值的删除长度。
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