整理 NOI 初赛资料目录并标准化 CSP-J 模拟卷
- 将18套模拟卷分离为试题和答案解析，补齐并规范逐题解析 - 补充SVG图示，统一试题排版并导出打印PDF - 重整初赛专题训练与复习资料目录，清理旧版源文件
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<center><font size="6"><b>CSP-J 初赛模拟卷（第 09 套）</b></font></center>
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<center><font size="4"><b>参考答案与解析</b></font></center>
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#### **一、单项选择题**
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**答案速查**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | D | A | B | C | D | A | A | A |
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| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | B | C | B | C | B | B | C |
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**逐题解析**
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##### 第1题
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**答案：** D
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**解析：** C 语言属于过程式程序设计语言；其余选项中的 C++、Python 和 Java 均支持面向对象程序设计。
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##### 第2题
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**答案：** A
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**解析：** 存储单元的唯一标识称为地址，CPU 根据地址读写相应的存储单元。
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##### 第3题
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**答案：** B
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**解析：** 广域网的英文为 Wide Area Network，缩写为 WAN；LAN 和 MAN 分别表示局域网和城域网。
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##### 第4题
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**答案：** C
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**解析：** 共有 $2048\times1024$ 个像素，每个像素占 $32/8=4$ 字节。总空间为 $2048\times1024\times4=8\times1024^2$ 字节，即 $8\ \mathrm{MB}$。
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##### 第5题
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**答案：** D
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**解析：** 若先输出 `c`、`d`，则 `a`、`b` 仍在栈中，且 `b` 位于 `a` 上方。在输出 `a` 之前必须先输出 `b`，因此 `c,d,a,e,b` 不合法。
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##### 第6题
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**答案：** A
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**解析：** 折半查找每次将候选范围约减半，最坏比较次数为 $\lfloor\log_2 100\rfloor+1=7$。
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##### 第7题
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**答案：** A
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**解析：** 含 $n$ 个顶点的连通无向图至少有 $n-1$ 条边；取一棵生成树即可达到这个最小值。因此 $10$ 个顶点可用 $9$ 条边构成连通图。
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##### 第8题
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**答案：** A
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**解析：** 先给每个班分配一个名额，再将剩余 $3$ 个相同名额分给 $7$ 个不同班级。由隔板法，方案数为 $\binom{3+7-1}{7-1}=\binom96=84$。
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##### 第9题
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**答案：** B
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**解析：** 高度为 $h$ 的完全二叉树满足 $2^{h-1}\le n\le2^h-1$。因为 $32\le61\le63$，所以高度为 $6$。
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##### 第10题
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**答案：** C
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**解析：** 球和袋子都不可区分，等价于将 $8$ 分拆为至多 $5$ 个正整数。按非空袋子数 $1,2,3,4,5$ 分类，分别有 $1,4,5,5,3$ 种，共 $18$ 种。
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##### 第11题
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**答案：** B
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**解析：** 哈夫曼算法每次选择当前权值最小的两个结点合并，以局部最优选择构造整体最优编码树，属于贪心策略。
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##### 第12题
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**答案：** C
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**解析：** 递归展开为 $7\times\operatorname{solve}(5)=7\times5\times\operatorname{solve}(3)=7\times5\times3\times2=210$。
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##### 第13题
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**答案：** B
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**解析：** 从 `a` 出发的深度优先搜索，最后访问的顶点可以是 `b` 或 `e`，其余两点均不能成为最后访问的顶点，因此共有 $2$ 个。
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##### 第14题
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**答案：** B
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**解析：** 安排用时为 $1$、$2$ 的两人先过河，用时 $1$ 的人返回；再让用时 $4$、$8$ 的两人过河，用时 $2$ 的人返回；最后前两人一起过河。总时间为 $2+1+8+2+2=15$。
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##### 第15题
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**答案：** C
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**解析：** 由辗转相除法，$377=319+58$，$319=5\times58+29$，$58=2\times29$，所以最大公约数为 $29$。
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#### **二、阅读程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 程序枚举字符串长度 $n$ 的所有正因数 $i$，检查下标为 `i-1` 的字符，并对满足 `c>='a'` 的字符进行减去大小写编码差的转换。可能被修改的位置数等于 $n$ 的正因数个数。
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**答案速查**
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| 题号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | √ | × | √ | B | B |
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###### 第16题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** `scanf("%s",st)` 可以读取不含空白的数字、标点等字符，并不限于大小写字母。
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###### 第17题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 当 `i=0` 时，第一次计算 `n%i` 就会出现除数为零的问题，因此程序不能正常执行。
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###### 第18题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 将循环上界缩小到 $\sqrt n$ 后，会漏掉大于 $\sqrt n$ 的因数对应的位置，因此输出可能改变。
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###### 第19题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 大写字母的编码均小于小写字母 `a`，不满足修改条件，因此字符串保持不变。
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###### 第20题
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**答案：** B
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**解析：** $18$ 的正因数为 $1,2,3,6,9,18$，共 $6$ 个；让这些位置都为小写字母即可使 $6$ 个字符发生变化。
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###### 第21题
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**答案：** B
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**解析：** $100000=2^5\times5^5$，正因数个数为 $(5+1)(5+1)=36$。其余三个长度的因数个数分别为 $9、1、8$。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 对每个位置 `i`，程序输出从该位置向右、连续元素均不大于 `a[i]` 的最远端点 `ans`。若当前值比前一个值小，则重新从 `i` 开始寻找。
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**答案速查**
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| 题号 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | √ | √ | √ | D | A |
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###### 第22题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** `ans` 至少等于 `i`，但可能恰好等于 `i`；例如严格递增序列中每次输出就是当前位置，因此不保证严格大于。
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###### 第23题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 只有在 `ans<n` 时才执行递增操作，故 `ans` 不会超过 $n$。
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###### 第24题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 下降时两种条件都会重置；上升时重置为 `i` 也不会丢失合法的更远端点；相等时两种条件都不重置，因此结果不变。
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###### 第25题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** `ans` 是连续满足约束的最远端点。既然已越过 `i+1`，该位置的值必然不大于 `a[i]`。
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###### 第26题
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**答案：** D
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**解析：** 严格递增时，每轮只需常数次判断，`ans` 随位置推进，整体时间复杂度为 $O(n)$。
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###### 第27题
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**答案：** A
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**解析：** 严格递减时，每个位置都会重置并向右扫描至末尾，总次数为 $n+(n-1)+\cdots+1$，最坏复杂度为 $O(n^2)$。
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##### 程序（3）
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**程序分析：** 程序通过线性筛求约数函数。`f[x]` 是正约数个数，`g[x]` 是正约数之和，`c`、`d` 辅助维护最小质因子的幂次及其余部分。
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**答案速查**
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| 题号 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | √ | × | × | A | C | C |
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###### 第28题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** `f[1]=g[1]=1` 只为输入 $1$ 的结果提供初值；大于 $1$ 的项由质数分支或递推独立得到，因此其他输入不受影响。
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###### 第29题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** `c[i*k]` 等于 `i` 中相应质因子指数加一，恰是约数个数乘积公式中的一个因子，因此该除法能够整除。
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###### 第30题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 约数和也不单调，例如 `g[6]=12`，而 `g[7]=8`，由 $6$ 到 $7$ 反而减小。
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###### 第31题
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**答案：** A
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**解析：** 每个合数只由其最小质因子筛到一次，所有筛选与转移的总时间为 $O(n)$。
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###### 第32题
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**答案：** C
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**解析：** 正约数恰有两个的数正是质数，$1$ 至 $100$ 中共有 $25$ 个质数。
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###### 第33题
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**答案：** C
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**解析：** $1000=2^3\times5^3$，约数个数为 $(3+1)^2=16$，约数和为 $(1+2+4+8)(1+5+25+125)=2340$。
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#### **三、完善程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 程序用二进制快速幂计算 $x^p\bmod m$。指数为奇数时把当前底数乘入结果，然后指数折半、底数平方，每次乘法后取模。
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**答案速查**
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| 题号 | 答案 |
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| :---: | :--- |
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| 34 | `1` |
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| 35 | `p > 0` |
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| 36 | `result * x % m` |
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| 37 | `x * x % m` |
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| 38 | `result` |
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###### 第34题
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**答案：** `1`
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**解析：** 乘法的单位元为 $1$，因此结果累加器初始化为 `1`。
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###### 第35题
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**答案：** `p > 0`
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**解析：** 指数尚未全部处理时继续循环，条件为 `p>0`。
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###### 第36题
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**答案：** `result * x % m`
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**解析：** 当当前二进制位为 $1$ 时，应执行 `result=result*x%m`。
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###### 第37题
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**答案：** `x * x % m`
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**解析：** 指数每次除以二，底数需相应平方并取模，即 `x*x%m`。
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###### 第38题
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**答案：** `result`
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**解析：** 最终所求余数保存在 `result` 中，直接输出即可。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 程序模拟编号为 $0$ 至 $n-1$ 的约瑟夫环，每隔一名存活者淘汰一人。`F` 标记淘汰状态，`c` 记录已淘汰人数，`p` 在存活者之间交替计数。
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**答案速查**
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| 题号 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | D | C | C | D | B |
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###### 第39题
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**答案：** D（`c < n - 1`）
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**解析：** 保留一人时结束，因此循环条件为 `c<n-1`，对应选项 D。
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###### 第40题
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**答案：** C（`p`）
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**解析：** `p` 为真时淘汰当前存活者，为假时跳过，所填条件为 `p`。
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###### 第41题
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**答案：** C（`c++`）
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**解析：** 每淘汰一人，已淘汰人数加一，应执行 `c++`。
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###### 第42题
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**答案：** D（`p ^= 1`）
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**解析：** 每访问一名存活者后切换淘汰与跳过状态，执行 `p^=1`。
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###### 第43题
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**答案：** B（`i = (i+1) % n`）
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**解析：** 沿环前进并在到达 $n$ 时回到 $0$，执行 `i=(i+1)%n`，对应选项 B。
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