整理 NOI 初赛资料目录并标准化 CSP-J 模拟卷
- 将18套模拟卷分离为试题和答案解析，补齐并规范逐题解析 - 补充SVG图示，统一试题排版并导出打印PDF - 重整初赛专题训练与复习资料目录，清理旧版源文件
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<center><font size="6"><b>CSP-J 初赛模拟卷（第 12 套）</b></font></center>
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<center><font size="4"><b>参考答案与解析</b></font></center>
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#### **一、单项选择题**
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**答案速查**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | B | B | C | D | D | B | A |
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| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | D | D | C | C | A | A |
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**逐题解析**
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##### 第1题
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**答案：** C
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**解析：** 操作系统负责管理 CPU、内存、外部设备等硬件资源，并为程序运行和用户操作提供统一的管理与服务。
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##### 第2题
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**答案：** B
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**解析：** NOI 是全国青少年信息学奥林匹克竞赛的英文简称。
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##### 第3题
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**答案：** B
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**解析：** 队列在队尾插入、队头删除，遵循先进先出原则。
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##### 第4题
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**答案：** C
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**解析：** $b$ 位二进制最多表示 $2^b$ 种状态。因为 $2^8=256$，所以至少需要 $8$ 位。
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##### 第5题
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**答案：** D
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**解析：** A、B、C 均含有与假值 $z$ 的逻辑与，因此为假。D 中 $x\land y$ 为真，逻辑或的结果为真。
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##### 第6题
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**答案：** D
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**解析：** $(269)_{16}=(617)_{10}=(1151)_8=617$，而 $(1001101011)_2=619$，所以 D 与其余三项不同。
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##### 第7题
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**答案：** B
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**解析：** 按“操作数在前、运算符在后”的规则，`b+c` 写作 `bc+`，再依次与 `a`、`d` 相乘，得到 `abc+*d*`。
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##### 第8题
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**答案：** A
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**解析：** 若四种花色各至多取 $3$ 张，则总数至多为 $12$ 张。现取 $13$ 张，根据抽屉原理，至少有一种花色取到 $4$ 张。
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##### 第9题
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**答案：** D
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**解析：** 前序顺序为“根、左、右”，中序顺序为“左、根、右”。要使两者相同，每个结点都不能有左子树；因此只含根结点或仅沿右孩子延伸的二叉树符合条件。
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##### 第10题
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**答案：** D
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**解析：** 按根下标为 $1$、右孩子下标为 $2i+1$ 的规则，图中最右下结点的下标为 $1\to3\to7\to15$，所以最大下标为 $15$。
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##### 第11题
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**答案：** C
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**解析：** 只含一种字母的不同非空子串有 $3\times3=9$ 个；跨越 `A/B` 或 `B/C` 边界的各有 $3\times3=9$ 个；同时含 `A、B、C` 的有 $3\times3=9$ 个。共 $9+9+9+9=36$ 个。
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##### 第12题
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**答案：** C
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**解析：** 先合并权值 $300$ 和 $400$，得到新结点 $700$。按同权时优先选择合并结点的规则，再合并 $600$ 和这个新结点，最后与原权值 $700$ 合并。“也”所在叶结点的深度为 $3$，编码长度为 $3$。
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##### 第13题
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**答案：** A
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**解析：** 将连通图保留为一棵生成树后，边数由 $m$ 变为 $n-1$，需删除 $m-n+1$ 条边。
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##### 第14题
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**答案：** A
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**解析：** 删除 `p` 时，应把前驱的后继指向 `p` 的后继，把后继的前驱指向 `p` 的前驱。A 却让这两个相邻结点的相应指针分别指向自身，不能正确连接链表。
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#### **二、阅读程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** `num[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最长严格递增子序列长度。程序尝试由前面更小的元素转移，最后取所有 `num[i]` 的最大值。
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**答案速查**
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| 题号 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | √ | × | √ | D | B |
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###### 第15题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 算法只比较元素大小，负数同样可以参与比较，不会仅因输入为负数而出错。
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###### 第16题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 长度为 $n$ 的序列，其子序列最多包含 $n$ 个元素，因此 `ans<=n`。
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###### 第17题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 例如序列 `1,2` 中，初始两项的 `num` 都为 $1$；必须允许相等时更新，才能把第二项改为 $2$。改成严格大于后会漏掉这次转移。
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###### 第18题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 当 `num[i]==ans` 时，无论是否再次赋值，`ans` 的数值都不变，因此修改不影响最大值。
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###### 第19题
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**答案：** D
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**解析：** 所有数相等时，不存在严格递增的相邻选取关系，最长严格递增子序列只能取一个元素，输出 $1$。
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###### 第20题
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**答案：** B
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**解析：** 样例的动态规划长度依次为 $1,1,2,3,4,3,2,4,5,3$，最大值为 $5$；例如可取 `2,5,7,10,15`。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 利用恒等式 $u+v-(u\mathbin{\&}v)=u\mathbin{|}v$，程序在所有数值不相同的元素对中寻找最大的按位或值；若不存在这样的元素对，保留初值 $-1$。
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**答案速查**
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| 题号 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | × | √ | √ | C | C |
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###### 第21题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 数组合法下标为 $0$ 至 $999$，因此输入 $n=1000$ 时仍不会越界；不是必须严格小于 $1000$。
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###### 第22题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 若所有输入值都相同，条件始终不成立，`ans` 保持为 $-1$，所以输出不一定非负。
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###### 第23题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 例如序列 `2,1`，原循环会处理“较小值在后、较大值在前”的有序对；限制 `j=i+1` 会漏掉该比较，输出可能改变。
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###### 第24题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 按位或具有交换性。把严格小于改为不等于只会同时处理反向的一对，不会改变最大值。
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###### 第25题
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**答案：** C
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**解析：** 若出现 $128$，只要与某个不同值配对，其按位或的结果就至少为 $128$；若全部为 $128$ 则输出为 $-1$。两种情况都不可能得到 $127$。
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###### 第26题
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**答案：** C
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**解析：** 按位或结果为偶数，说明参与得到该结果的两个数最低位均为零，因此输入中至少有两个偶数。
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##### 程序（3）
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**程序分析：** `a[x]=y` 与 `b[y]=x` 维护两侧结点的一一配对，冲突配对会先解除。最后分别统计两数组中的零元素；若当前有 $t$ 对配对，输出为 $2n-2t$。
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**答案速查**
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| 题号 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | √ | × | × | × | A | A |
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###### 第27题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 第一对正编号结点必定可以配对，之后的更新不会使配对总数降为零，因此 $m>0$ 时最终至少有一对，输出小于 $2n$。
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###### 第28题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 最终答案为偶数，但某一次执行 `++ans` 后的中间值可以是奇数。例如仅配对 `(1,2)` 时，扫描 `i=1` 就可能使 `ans` 变为 $1$。
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###### 第29题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 例如输入配对 `(1,2)`、`(3,1)` 后，`a[1]=2`、`b[1]=3`，二者可以同时大于零。
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###### 第30题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 例如先后输入 `(1,2)`、`(1,3)`，每次均有 `x<y`，但第二次仍须解除旧配对，因此相应语句会执行。
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###### 第31题
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**答案：** A
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**解析：** 两侧编号分别互不相同时，所有 $m$ 对都能保留，零元素总数为 $2(n-m)=2n-2m$。
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###### 第32题
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**答案：** A
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**解析：** 所有 `y` 相同时，最终只能保留其中一对配对，故零元素总数为 $2n-2$。
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#### **三、完善程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 程序从小到大试除，反复输出同一个质因子并缩小剩余的 `n`。当试除数超过剩余数的平方根时，若还有大于 $1$ 的剩余数，它本身就是最后一个质因子。
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**答案速查**
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| 题号 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | C | C | A | C |
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###### 第33题
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**答案：** C（`2`）
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**解析：** 最小质因子从 $2$ 开始，因此初始化 `i=2`。
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###### 第34题
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**答案：** C（`i*i`）
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**解析：** 只需试除至平方根，循环条件为 `i*i<=n`，所以所填表达式为 `i*i`。
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###### 第35题
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**答案：** C（`while(n%i==0)`）
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**解析：** 同一个质因子可能出现多次，必须使用 `while(n%i==0)` 反复输出并除去。
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###### 第36题
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**答案：** A（`n>1`）
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**解析：** 若试除后 `n>1`，说明仍剩一个质因子，需要单独输出。
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###### 第37题
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**答案：** C（`n`）
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**解析：** 最后剩下的质因子就是当前的 `n`，应输出 `n`。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 程序成对枚举 $n$ 的正约数，避免平方根重复加入；随后对每两个不同约数求最大公约数并累加，对 $10007$ 取模。
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**答案速查**
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| 题号 | 答案 |
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| :---: | :--- |
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| 38 | `i*i` |
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| 39 | `n/i` |
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| 40 | `return a` |
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| 41 | `a%b` |
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| 42 | `ans + gcd(a[i], a[j])` |
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###### 第38题
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**答案：** `i*i`
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**解析：** 枚举到 $\sqrt n$ 即可找到所有约数对，条件写为 `i*i<=n`。
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###### 第39题
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**答案：** `n/i`
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**解析：** 一对约数为 `i` 与 `n/i`。只有 `n/i!=i` 时才需再加入另一个，避免完全平方数的平方根重复。
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###### 第40题
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**答案：** `return a`
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**解析：** 欧几里得算法中，当第二个参数为零时，第一个参数就是最大公约数，应执行 `return a`。
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###### 第41题
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**答案：** `a%b`
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**解析：** 递推式为 `gcd(a,b)=gcd(b,a%b)`，第二个参数应为 `a%b`。
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###### 第42题
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**答案：** `ans + gcd(a[i], a[j])`
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**解析：** 当前约数对的贡献为 `gcd(a[i],a[j])`，应在原 `ans` 上累加后再取模。
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##### 程序（3）
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**程序分析：** 程序对可切出的整数长度进行二分。长度为 `mid` 时，第 `i` 根绳子可切出 `len[i]/mid` 段；总段数随候选长度增大而不增加，满足二分判定的单调性。
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**答案速查**
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| 题号 | 答案 |
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| :---: | :--- |
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| 43 | `count = count + len[i]` |
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| 44 | `count < m` |
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| 45 | `lbound < ubound` |
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| 46 | `(lbound + ubound + 1) / 2` |
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| 47 | `count = count + len[i] / mid` |
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###### 第43题
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**答案：** `count = count + len[i]`
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**解析：** 先累加绳子总长度，等价于计算每段长度为 $1$ 时最多能切出的段数。
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###### 第44题
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**答案：** `count < m`
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**解析：** 若总长度仍小于所需段数 `m`，则即使每段仅长 $1$ 也无法满足要求，应判定失败。
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###### 第45题
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**答案：** `lbound < ubound`
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**解析：** 候选上下界尚未重合时继续二分，故条件为 `lbound<ubound`。
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###### 第46题
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**答案：** `(lbound + ubound + 1) / 2`
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**解析：** 可行时更新为 `lbound=mid`，需使用向上取整的中点 `(lbound+ubound+1)/2`，避免只差 $1$ 时陷入死循环。
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###### 第47题
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**答案：** `count = count + len[i] / mid`
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**解析：** 当前绳子能提供 `len[i]/mid` 段，应把它累加到总段数 `count` 中。
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