整理 NOI 初赛资料目录并标准化 CSP-J 模拟卷
- 将18套模拟卷分离为试题和答案解析，补齐并规范逐题解析 - 补充SVG图示，统一试题排版并导出打印PDF - 重整初赛专题训练与复习资料目录，清理旧版源文件
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<center><font size="6"><b>CSP-J 初赛模拟卷（第 17 套）</b></font></center>
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<center><font size="4"><b>参考答案与解析</b></font></center>
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#### **一、单项选择题**
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**答案速查**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | A | B | C | B | A | C | A | B |
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| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | B | D | B | A | C | D |
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**逐题解析**
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##### 第1题
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**答案：** A
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**解析：** $114$ 的 8 位二进制为 `01110010`。逐位取反得到 `10001101`，再加一得到 $-114$ 的补码 `10001110`。
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##### 第2题
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**答案：** B
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**解析：** Gitee 是代码托管与协作平台，不是题目所描述的在线算法判题系统；其余三个网站均提供在线判题功能。
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##### 第3题
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**答案：** C
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**解析：** 按题目的字母编号规则，`B=2`、`Y=25`、`T=20`，因此 `BYT` 对应 $2\times26^2+25\times26+20=2022$。
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##### 第4题
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**答案：** B
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**解析：** 每个像素占 $24/8=3$ 字节，总空间为 $4096\times2160\times3=26542080$ 字节，约为 $25.31\ \mathrm{MB}$，最接近 $25\ \mathrm{MB}$。
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##### 第5题
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**答案：** A
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**解析：** 快速选择利用划分操作，仅继续处理包含第 $k$ 大元素的那一侧，平均时间复杂度为 $O(n)$；比较所有元素本身也需要线性级别的时间。
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##### 第6题
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**答案：** C
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**解析：** ②是树的唯一路径性质，③可由树至少存在叶结点得到。①还需要连通等条件，仅有顶点数和边数不足以保证为树；④与树无环的性质矛盾。因此正确的是②③。
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##### 第7题
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**答案：** A
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**解析：** 最小总代价与哈夫曼合并代价相同。依次合并 $5+10=15$、$13+14=27$、$15+27=42$，总代价为 $15+27+42=84$。
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##### 第8题
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**答案：** B
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**解析：** 由两种遍历还原二叉树后，根 `H` 的右孩子为 `D`，`D` 的左孩子为 `A`，`A` 的左右孩子为 `F、E`。其下标依次为 $1,3,6,12,13$，因此最大下标为 $13$。
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##### 第9题
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**答案：** C
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**解析：** 代入 `a=1,b=0,c=1`，A、B 的值均为 $0$，D 的值为 $2$。C 中 `!c` 为 $0$，内层逻辑与为 $0$，再取逻辑非得到 $1$。
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##### 第10题
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**答案：** B
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**解析：** 最理想情况下，每次要找的元素都位于链表表头，只需访问一个已有结点。因此 $k$ 次操作至少访问 $k$ 次已有结点。
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##### 第11题
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**答案：** D
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**解析：** 按 C 班派出人数 $0,1,2,3$ 分类，满足 A 班至多 $5$ 人、B 班至多 $4$ 人及总人数为 $6$ 的方案数依次为 $4,5,5,4$，合计 $18$ 种。
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##### 第12题
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**答案：** B
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**解析：** 直接插入排序在一般及最坏情况下需要逐个移动、比较前面的元素，总次数可达到 $1+2+\cdots+(n-1)$，时间复杂度为 $O(n^2)$。
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##### 第13题
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**答案：** A
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**解析：** `rand()%(b-a)` 的取值范围为 $0$ 至 $b-a-1$，再加上 `a`，即得到 $a$ 至 $b-1$，符合左闭右开的区间 $[a,b)$。
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##### 第14题
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**答案：** C
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**解析：** $7$ 个顶点的完全图有 $\binom72=21$ 条边。森林至多保留 $7-1=6$ 条边，因此至少删去 $21-6=15$ 条边，保留一棵生成树即可达到。
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##### 第15题
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**答案：** D
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**解析：** 2020 年举办的是第 $37$ 届全国青少年信息学奥林匹克竞赛，举办地为湖南长沙，对应 D。
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#### **二、阅读程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 递归满足 $\operatorname{luo}(n,m)=\sum_{0\le i<m,\ i\text{ 为偶数}}\operatorname{luo}(n-1,i)$，边界为 `n<=1` 或 `m<2`。`gu` 以 $-1$ 表示未计算，实现记忆化搜索。
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**答案速查**
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| 题号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | √ | √ | √ | B | A |
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###### 第16题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 初次输入的 `m` 可以是奇数；递归产生的后续参数才由偶数循环变量 `i` 给出。
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###### 第17题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 当 `m` 为偶数时，改为 `<=` 会多计算 `i=m` 这一项。例如 `luo(2,2)` 会由 $1$ 变为 $2$。
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###### 第18题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 删除的是记忆化的读取和写入，递归式与边界不变，因此结果相同，但运行时间可能显著增加。
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###### 第19题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 在题目的补码整数模型中，将每个字节置为 `255` 会使每个 `int` 的所有位均为 $1$，其值为 $-1$，与逐项赋值效果一致。
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###### 第20题
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**答案：** B
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**解析：** 输入为 `4 8`。由递推式可得 `luo(4,8)=luo(3,0)+luo(3,2)+luo(3,4)+luo(3,6)=1+1+2+4=8`。
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###### 第21题
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**答案：** A
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**解析：** 记忆化后至多有 $O(nm)$ 个状态，每个状态枚举 $O(m)$ 个转移，时间复杂度为 $O(nm^2)$。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 程序先用 Floyd 算法求最短路，再枚举一对顶点，将其间距离设为零并更新最短路，最后取所有无序顶点对距离之和的最小值。
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**答案速查**
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| 题号 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | × | √ | √ | A | A |
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###### 第22题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** Floyd 算法需要把中转顶点 `k` 放在最外层，保证阶段性状态含义；改为 `i,j,k` 后不再具有这一保证，结果可能改变。
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###### 第23题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 读入边需要 $O(m)$ 时间，后续枚举和更新需要 $O(n^4)$ 时间，整体可写为 $O(m+n^4)$，不能说所有运行步骤都与 $m$ 无关。
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###### 第24题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 在允许的图规模和边权下，最优距离总和也可能大于 $10^7$。若把 `ans` 初始化为该值，取最小值时就可能保留错误的初值。
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###### 第25题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 两次更新分别允许经由顶点 `i` 和 `j`，最终允许的中转顶点集合相同，因此交换这两次更新的顺序不影响结果。
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###### 第26题
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**答案：** A
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**解析：** 对给定图枚举置零的顶点对并计算更新后的无序点对最短路之和，最小结果为 $14$。
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###### 第27题
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**答案：** A
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**解析：** 代码使用“枚举中转点并松弛任意两点距离”的 Floyd 算法。
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##### 程序（3）
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**程序分析：** `A[i][j]` 由杨辉三角递推得到组合数 $\binom ij$ 对 `MOD` 取模的值；`sum` 为该数组的二维前缀和，同样对 `MOD` 取模。
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**答案速查**
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| 题号 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | × | × | × | √ | C | C |
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###### 第28题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 对角线元素为 $A[i][i]=\binom ii=1$，并不是零。
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###### 第29题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 该递推计算的是组合数而非排列数，且保存的是组合数对 `MOD` 取模后的值。
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###### 第30题
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**答案：** ×（错误）
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**解析：** 前缀和取模后可能从较大的值回绕到较小值，因此不能保证所述单调关系。
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###### 第31题
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**答案：** √（正确）
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**解析：** 在取模前额外加一个 `MOD`，不会改变对 `MOD` 取模后的余数。
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###### 第32题
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**答案：** C
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**解析：** 前 $10$ 行的最大组合数为 $\binom{10}5=252$，这些值均小于模数，因此无需考虑取模改变数值。
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###### 第33题
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**答案：** C
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**解析：** 查询为 `sum[5][3]`，即将前 $5$ 行、前 $3$ 列的组合数求和，结果为 $1+3+7+14+25=50$。
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#### **三、完善程序**
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##### 程序（1）
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**程序分析：** 将每名射手指向目标构成出度为 $1$ 的有向图。程序先处理入度为零的树枝，再处理剩余有向环；`w=1` 表示计入存活人数，并沿目标方向交替处理状态。
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**答案速查**
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| 题号 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | D | D | A | C |
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###### 第34题
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**答案：** C（`in[a[cur]]--;`）
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**解析：** 处理当前结点后，应删除它指向目标的那条边，使目标入度减一，即 `in[a[cur]]--`。
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###### 第35题
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**答案：** D（`in[a[cur]]==0||w==1`）
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**解析：** 目标入度降为零时可继续处理；当前结点状态为 `w==1` 时也需继续处理其目标。因此条件为 `in[a[cur]]==0 || w==1`；用位或连接两个布尔值时结果也相同。
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###### 第36题
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**答案：** D（`1-w`）
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**解析：** 当前结点与目标结点的状态交替，因此下一层参数为 `1-w`。
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###### 第37题
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**答案：** A（`dfs(i,1)`）
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**解析：** 入度为零的射手可先保留，初始状态取 $1$，故调用 `dfs(i,1)`。
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###### 第38题
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**答案：** C（`!vis[i]`）
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**解析：** 处理完树枝后，尚未访问的结点位于有向环中，应以 `!vis[i]` 判断是否开始处理该环。
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##### 程序（2）
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**程序分析：** 程序从后向前枚举保留的后缀，维护后缀总分与最低分，删除最低分后计算平均分，记录达到最大平均分的前缀删除长度。
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**答案速查**
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| 题号 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
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| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
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| 答案 | C | B | D | C | B |
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###### 第39题
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**答案：** C（`sum=s[n]`）
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**解析：** 开始枚举前，后缀只有最后一项，应令 `sum=s[n]`。
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###### 第40题
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**答案：** B（`sum+=s[i]`）
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**解析：** 将第 `i` 项纳入当前后缀后，需要执行 `sum+=s[i]`。
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###### 第41题
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**答案：** D（`(double)(sum-minScore)/(n-i)`）
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**解析：** 后缀含 $n-i+1$ 项，去掉最低分后剩 $n-i$ 项，平均分为 `(double)(sum-minScore)/(n-i)`。
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###### 第42题
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**答案：** C（`cnt=1;k[cnt]=i-1;`）
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**解析：** 发现更优平均分时，应清空此前候选，把当前删除的前缀长度 `i-1` 作为首个结果保存。
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###### 第43题
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**答案：** B（`k[++cnt]=i-1;`）
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**解析：** 平均分相同时追加当前答案，执行 `k[++cnt]=i-1`，保留所有达到最优值的删除长度。
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