Initial commit: C++ courseware

2026-11-05 22:51:02 +08:00
commit 4a4ee7c287
@@ -0,0 +1,33 @@
+### **参考答案**
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  局部最优，全局最优解
+2.  无后效性
+3.  价值密度（或 性价比）
+4.  比较函数
+5.  最优子结构
+
+#### **二、 单项选择题**
+1. B
+2. C
+3. C
+4. B
+5. B
+6. D
+7. C
+8. C
+9. C
+10. A
+
+#### **三、 判断题**
+1.  ×
+2.  √
+3.  √
+4.  ×
+5.  √
+6.  √
+7.  √
+8.  × (对于部分背包问题，该物品可以装入一部分)
+9.  × (通常时间复杂度更低)
+10. √
@@ -0,0 +1,70 @@
+### C++ 贪心算法（上） 课后习题
+
+姓名: ____________________________________________
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  贪心算法在求解问题的每一步中，都做出一个 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_** 的选择，寄希望于一系列的局部最优选择能够产生一个 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**。
+
+2.  一个问题能用贪心算法求解，通常需要满足 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_** 和最优子结构两个关键性质。
+
+3.  在部分背包问题中，正确的贪心标准是优先选择 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_** 最高的物品。
+
+4.  在C++代码实现中，为了对物品按价值密度进行排序，我们可以使用`sort`函数，并为其提供一个自定义的 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**。
+
+5.  一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，这个性质被称为 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**。
+
+#### **二、 单项选择题**
+
+( ) 1. 贪心算法的核心思想是？
+    A. 穷举所有可能   B. 每步都做出局部最优选择   C. 将问题分解为不相关的子问题   D. 从后向前推导最终解
+
+( ) 2. 根据讲义，以下哪个问题是适合用贪心算法解决的典型例子？
+    A. 0-1背包问题   B. 排序问题   C. 部分背包问题   D. 二分问题
+
+( ) 3. 对于部分背包问题，最佳的贪心策略是？
+    A. 优先选择价值最高的物品   B. 优先选择重量最轻的物品   C. 优先选择价值密度最高的物品   D. 随机选择物品
+
+( ) 4. “某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关”描述的是贪心算法的哪个性质？
+    A. 最优子结构   B. 无后效性   C. 高效性   D. 启发性
+
+( ) 5. 假设背包容量为20，有A、B两个物品。A重10价值60，B重20价值100。按照部分背包问题（可拆分物品）的贪心策略，最终得到的最大价值是？
+    A. 120 B. 110 C. 100 D. 60
+
+( ) 6. 在部分背包问题的C++代码实现中，`Item`结构体中的`ratio`（价值密度/性价比）成员最好使用什么类型？
+    A. `int`   B. `char`   C. `bool`   D. `double`
+
+( ) 7. 已知`Item`结构体内有三个成员变量分别为：`v`: 物品价值,  `m`: 物品重量,  `ratio`: 物品价值密度, 在对物品按价值密度进行降序排序时，自定义比较函数`bool cmp(const Item& a, const Item& b)`的正确写法是？
+    A. `return a.v > b.v;` B. `return a.m < b.m;` C. `return a.ratio > b.ratio;` D. `return a.ratio < b.ratio;`
+
+( ) 8. 一个贪心策略通常可以使用什么办法来证明？
+    A. 公式法 B. 暴力枚举法 C. 反证法 D. 数学归纳法
+
+( ) 9. 在处理最后一个无法完全装入的物品时，应该如何计算其贡献的价值？
+    A. 计为0   B. 计为其全部价值   C. (剩余容量 / 物品重量) \* 物品价值   D. 无法计算
+
+( ) 10. 为什么“优先选择价值最高的物品”的策略对于部分背包问题是错误的？
+    A. 因为它忽略了物品的重量 B. 因为它忽略了背包的容量 C. 因为价值最高的物品总是最重 D. 因为该策略计算过于复杂
+
+#### **三、 判断题 (对的打“√”，错的打“×”)**
+
+( ) 1. 贪心算法适用于所有最优化问题，并且总能找到最优解。
+
+( ) 2. 对于部分背包问题，我们可以将物品分割成任意大小的块装入背包。
+
+( ) 3. 在贪心算法中，一旦一个选择被做出，它就不会被撤销或更改。
+
+( ) 4. “重量最轻优先”是解决部分背包问题的一个有效贪心策略。
+
+( ) 5. 贪心算法就算得不到最优解，也能够快速给出一个质量较高的可行解。
+
+( ) 6. 贪心算法的正确性通常需要严格的数学证明，不能仅凭直觉。
+
+( ) 7. 在C++代码中，`sort(items.begin(), items.end(), cmp);` 这行代码实现了贪心策略的核心部分，即对物品进行排序。
+
+( ) 8. 如果一个物品的重量大于当前背包的剩余容量，那么该物品以及之后的所有物品都不能再装入背包。
+
+( ) 9. 贪心算法相较于暴力搜索算法，通常具有更高的时间复杂度。
+
+( ) 10. 在计算价值密度时，`ratio = (double)v / m;` 是为了防止整数除法导致精度丢失。
+
@@ -0,0 +1,31 @@
+### **参考答案**
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  合并
+2.  权值最小
+3.  Q1的队头，Q2的队头
+4.  频率
+5.  两堆果子的重量（或权值）之和
+
+#### **二、 单项选择题**
+1. B
+2. B
+3. C (先合并10和20，成本30，新堆为30。再合并两个30，成本60。总成本30+60=90)
+4. B (因为后合并的权值更大，放队尾可维持Q2有序)
+5. B
+7. B
+8. D (活动安排属于区间选择贪心模型)
+9. C
+10. C
+
+#### **三、 判断题**
+1.  × (讲义中{30,30,30,30}的例子说明对半分更好，但{10,20,30,40}的例子说明分离最大更好，证明单一策略不是普适的)
+2.  √
+3.  × (应该尽可能晚地参与合并)
+4.  √
+5.  × (不一定，全局最小值在两个队头之一，但无法保证Q1队头一定小于Q2队头)
+6.  × (可以调整，变为每次合并权值最小的`k`个)
+7.  √ (这是前缀码的定义，也是哈夫曼编码的性质)
+8.  √
+9.  √ (每次操作的成本是被分的那一摞卷子的总数量，总成本是所有操作成本之和)
@@ -0,0 +1,61 @@
+### C++ 贪心算法（下） 课后习题
+
+姓名: ____________________________________________
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  通过逆向思维，分卷子的拆分问题可以转化为转化为等价的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_问题来求解。
+2.  有 n 个元素带权，二合一合并求最小总成本的问题叫做霍夫曼模型，其最优贪心策略是：每一次操作，都选择当前所有元素中 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_** 的两个进行合并。
+3.  在使用双队列法(两个队列的变量名为`Q1` 和 `Q2`)实现霍夫曼模型时，全局最小的元素只可能出现在 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_** 或 **\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**。
+
+#### **二、 单项选择题**
+
+(   ) 1. “分卷子”的例子告诉我们，正向思考“每次分离出最大的一堆”这个贪心策略是？
+    A. 正确的  	 B. 错误的 	  C. 最低效的	   D. 最高效的
+
+(   ) 2. 对于“合并果子”问题，正确的贪心策略是？
+    A. 优先合并重量最大的两堆   B. 优先合并重量最轻的两堆   C. 优先合并重量最接近的两堆   D. 随机合并
+
+(   ) 3. 有三堆果子，重量分别为 10, 20, 30。将它们合并成一堆的最小总成本是？
+    A. 60   	B. 80  	 C. 90  	 D. 110
+
+(   ) 4. 在双队列法中，我们将合并后新产生的元素放入第二个队列（Q2）的哪个位置？
+    A. 队头  	 B. 队尾 	  C. 任意位置 	  D. 替换队头
+
+(   ) 5. 双队列法能够高效实现霍夫曼模型，其关键是？
+    A. 两个队列的长度永远相等   	B. 新产生的元素组成的队列Q2自然有序  	
+    C. Q1队列的元素会越来越少  	 D. 只需要一个队列就够了
+
+(   ) 6. 哈夫曼编码的目标是使得编码后的信息总长度最小，它通过什么方式实现？
+    A. 让所有字符编码等长  	 B. 出现频率高的字符编码短，频率低的编码长	   
+    C. 出现频率低的字符编码短，频率高的编码长   	D. 使用尽可能多的0
+
+(   ) 7. 下列哪个问题不适合直接用霍夫曼模型解决？
+    A. 合并N堆石子，成本为合并后石子总数  	 B. 构建哈夫曼编码  	 
+    C. 分离试卷，成本为分离前试卷总数 	  D. 活动安排问题
+
+(   ) 8. 在双队列法的`get_min`函数中，如果Q1为空，应该从哪里取元素？
+    A. 无法继续   	B. 从Q1队尾 	  C. 从Q2队头	  D. 随机选择
+
+(   ) 9. “分卷子”问题和“哈夫曼编码”的构建过程，都体现了哪种重要的算法思想？
+    A. 分治思想	   B. 动态规划   	C. 逆向思维与贪心  	 D. 暴力搜索
+
+#### **三、 判断题 (对的打“√”，错的打“×”)**
+
+(   ) 1. 对于任意输入的果子重量，“每次对半分”的合并策略总能得到最小成本。
+
+(   ) 2. “从上往下”拆分的最小成本，等于“从下往上”合并的最小成本。
+
+(   ) 3. 在“合并果子”问题中，一个重量较大的果子堆，应该尽早参与合并，以减小总成本。
+
+(   ) 4. 在双队列法中，因为新合并的果子堆是放入Q2的，所以Q1中的元素数量只减不增。
+
+(   ) 5. 在任意时刻，Q1队头的元素一定小于等于Q2队头的元素。
+
+(   ) 6. 霍夫曼模型的核心是“二合一”操作，如果每次可以合并三堆，则不能使用类似的贪心思想。
+
+(   ) 7. 哈夫曼编码是一种前缀码，意味着任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀。
+
+(   ) 8. 双队列法的核心是避免了重复排序，从而提高了算法效率。
+
+(   ) 9. 在“分卷子”问题中，总成本等于所有中间步骤产生的卷子堆的数量之和。
@@ -0,0 +1,28 @@
+### C++ 贪心算法（中） 课后习题 - **答案**
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  总等待时间
+2.  权重，短
+3.  结束时间
+4.  不相交 (或 不重叠)
+5.  右端点
+6.  价值密度 (或 性价比)
+7.  反证法
+
+#### **二、 单项选择题**
+
+1.  B    2. A    3. C    4. C    5. B    6. B    7. C    8. D    9. C    10. A
+
+#### **三、 判断题**
+
+1.  √
+2.  × (这是一个常见的错误贪心策略，反例：活动(1,10), (2,3), (4,5)。选(1,10)后其他都不能选，但选(2,3)和(4,5)更优。)
+3.  √
+4.  √
+5.  × (“0-1背包”问题不能用简单的贪心策略解决，是动态规划的经典问题。)
+6.  √
+7.  √
+8.  × (目标是区间的**数量**最多，而不是总长度最长。)
+9.  × (贪心算法只对具有特定性质的问题能找到最优解，对很多问题只能找到近似解或不可行。)
+10.  √
@@ -0,0 +1,70 @@
+### C++ 贪心算法（中） 课后习题
+
+姓名: \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+
+#### **一、 填空题**
+
+1.  在“排队接水”问题中，我们的目标是让所有人的平均等待时间最小，这等价于让所有人的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_之和最小。
+2.  在“排队接水”问题总等待时间的计算公式中，排在越前面的人，其接水时间所乘的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_越大。因此，我们的贪心策略是让接水时间\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的人排在最前面。
+3.  “活动安排”问题的贪心策略是：将所有活动按\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_从小到大排序，然后依次选择与已选活动不冲突的活动。
+4.  “活动安排”问题可以被抽象为更普适的数学模型，叫做“最多\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_区间问题”。
+5.  在“射气球”或“区间选点”问题中，我们通常将所有区间按\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_从小到大排序。
+6.  对于部分背包问题(有n个不同价值，不同重量物品可供选择，每个物品可分割，求在一定背包容量下能获取的物品的最大价值)，它的贪心标准是优先选择\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_最高的物品。
+7.  我们常用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_来证明一个贪心策略的正确性。
+
+#### **二、 单项选择题**
+
+(     ) 1. 在“排队接水”问题中，正确的排队策略是什么？
+    A. 接水时间长的人排在前面
+    B. 接水时间短的人排在前面
+    C. 随机排队
+    D. 按到达顺序排队
+
+(     ) 2. 假设有4个人排队接水，他们的接水时间分别是 $t_1, t_2, t_3, t_4$。在总等待时间的计算公式中，哪个人的接水时间被计算的次数最多？
+    A. 第1个人($t_1$)    	B. 第2个人($t_2$)    	C. 第3个人($t_3$)  	  D. 第4个人($t_4$)
+
+(     ) 3. 有3个人排队接水，时间分别是 2分钟、5分钟、8分钟。要使总等待时间最短，他们的排队顺序应该是？
+    A. `8, 5, 2`    B. `5, 8, 2`    C. `2, 5, 8`    D. 任意顺序都可以
+
+(     ) 4. 在一个大量有时间冲突的活动中，要求选择出**数量最多**的、互不冲突的活动问题中，正确的贪心策略是？
+    A. 优先选择开始时间最早的活动
+    B. 优先选择持续时间最短的活动
+    C. 优先选择结束时间最早的活动
+    D. 优先选择开始时间最晚的活动
+
+(     ) 5. 在一个大量有时间冲突的活动中，要求选择出**数量最多**的、互不冲突的活动问题中，采取“结束时间最早”策略的主要理由是？
+    A. 让每个活动尽快开始
+    B. 尽快结束当前活动，为未来留下最大的选择空间
+    C. 确保持续时间长的活动能被安排
+    D. 避免活动之间有任何空闲时间
+
+(     ) 6. 考虑以下活动(开始时间, 结束时间)：A(1, 4), B(3, 5), C(0, 6), D(5, 7)。按照“活动安排”的贪心策略，最多能选出几个活动？
+    A. 1		B. 2		 C. 3 		D. 4
+
+(     ) 7. 对于射气球问题：在 X 轴上，有一些水平方向的气球。每个气球可以由一个开始和结束坐标去表示，要求用最少的箭射爆所有气球，它的贪心策略是？
+    A. 按气球宽度从大到小排序
+    B. 按气球左端点从小到大排序
+    C. 按气球右端点从小到大排序
+    D. 随机选择一个气球射击
+
+(     ) 8. 现有A, B, C, D四个活动，它们的起止时间分别是A(8, 11), B(9, 12), C(10, 13), D(8, 10)。为了能安排下尽可能多的活动，根据贪心策略，我们应该首先选择哪个活动？
+    A. 活动A  	  B. 活动B   	 C. 活动C  	  D. 活动D
+
+(     ) 9. 部分背包问题，其贪心选择能够成立的关键前提是？
+    A. 物品价值都很高  		  B. 物品重量都很轻
+    C. 物品可以被任意分割 	   D. 背包容量非常大
+
+(     ) 10. 一个问题能用贪心算法求解，通常需要满足最优子结构和什么性质？
+    A. 无后效性   	 B. 先进先出	   C. 后进先出    	D. 运行速度快
+
+#### **三、 判断题 (对的打“√”，错的打“×”)**
+(     ) 1. 在“排队接水”问题中，让接水时间最长的人排在队尾，总等待时间会最短。
+(     ) 2. 在“活动安排”问题中，总是优先选择开始时间最早的活动，一定能得到最优解。
+(     ) 3. 贪心算法在每一步都做出一个当前看起来最好的选择。
+(     ) 4. 在“射气球”问题中，按右端点排序后，第一支箭应该射在第一个气球的右端点位置。
+(     ) 5. “部分背包”问题和“0-1背包”问题（物品不能分割）都可以用相同的贪心策略解决。
+(     ) 6. 学习贪心算法的关键在于识别问题的内在数学模型，并找到正确的贪心标准。
+(     ) 7. 在“排队接水”问题中，即使所有人的接水时间都一样，交换任意两个人的位置，总等待时间也不会改变。
+(     ) 8. 在“最多不相交区间问题”中，我们的目标是让选出的所有区间的总长度最长。
+(     ) 9. 贪心算法总能为所有问题找到全局最优解。
+(     ) 10. “排队接水”和“活动安排”两个问题的贪心策略，第一步都是对输入数据进行排序。