C++ 高精度减法讲义

1. 思想

既然高精度加法可以通过“反转 -> 补零 -> 逐位相加”的流程简化计算，减法是否也可以呢？

答案是肯定的！通过完全相同的预处理步骤，我们同样可以将减法问题转化为一个从左到右的、下标对齐的简单循环。

产生了新的问题：

我们已经知道如何用字符串来模拟大数的加法。减法同样可以模拟，但比加法多了三个问题：

预处理：减法必须先判断大小，确定结果的符号。
计算：将进位(carry) 逻辑替换为借位(borrow) 逻辑。
后处理：减法的结果可能产生前导零 (例如 123-120=003)，需要特殊处理。

2. 算法步骤详解

判断符号 (这是减法独有的)

在计算前，必须比较 a 和 b 的大小。
创建一个 bool negative = false; 标志位。
如果 b 比 a 大，说明结果是负数。我们记下 negative = true;，然后交换 a 和 b。
目的：通过这一步，我们保证了接下来的计算永远是 大数 - 小数，极大地简化了借位逻辑。

反转与补零 (与加法完全一致)

将 a 和 b (已经是大数和小数了) 同时反转。
在较短的字符串末尾补 0，使其与较长的等长。
目的：让原本的“个位、十位、百位...”对齐到字符串的索引 0, 1, 2...，从而可以使用一个简单的 for 循环从左到右处理。

核心循环——逐位相减 这是算法的核心，我们将在这里实现借位逻辑。

创建一个 int borrow = 0; 用于记录借位。
循环从 i = 0 开始：
1. 取数计算：diff = (a[i]-'0') - (b[i]-'0') - borrow;
  - a[i] 是被减数，b[i] 是减数。
  - borrow 是来自更低位的借位请求。如果上一轮（i-1）发生了借位，borrow 就是 1，意味着当前位的 a[i] 已经被借走了一个 1。
2. 判断并处理借位：
  - 如果 diff < 0，说明当前位不够减。
    - diff += 10; (向更高位借来的 1 在本位体现为 10)。
    - borrow = 1; (设置借位标记，告诉下一轮循环，它的 a[i+1] 被借走了)。
  - 如果 diff >= 0，说明够减。
    - borrow = 0; (重置借位标记)。
3. 拼接结果：ans += to_string(diff);

去除前导零 (在反转前操作)

我们得到的 ans 是一个倒序的结果。例如，123 - 120 的计算结果 3，在 ans 中会是 "300"。
如果直接反转，会得到 "003"。
所以，我们必须在最终反转之前，去除 ans 末尾多余的 0。
注意：要保留最后一位 0 (例如 10 - 10 的结果是 0)，所以循环条件是 ans.size() > 1。

最终反转与添加符号

将清理好的 ans 字符串反转回来，得到正确的顺序。
检查设置的 negative 标志位。如果为 true，在结果的最前面加上 "-"。

3. 完整代码实现

// 比较函数，判断 a 是否大于 b
bool isGreater(string a, string b) {
    if (a.length() != b.length()) {
        return a.length() > b.length();
    }
    return a > b; // 长度相同时，直接按字典序比较
}

string sub(string a, string b) {
    // 判断符号，并确保 a >= b
    bool negative = false;
    if (isGreater(b, a)) {
        negative = true;
        swap(a, b);
    }
    
    // 将两个输入字符串都反转
    reverse(a.begin(), a.end());
    reverse(b.begin(), a.end());

    // 在较短的字符串末尾补 '0'，使其与较长的等长
    while (b.size() < a.size())  b += '0';

    string ans = "";
    int borrow = 0;

    // 核心循环，逐位相减
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        // 计算当前位的差值（考虑上一位的借位）
        int diff = (a[i] - '0') - (b[i] - '0') - borrow;

        // 判断是否需要向更高位借位
        if (diff < 0) {
            // 当前位不够减，需要借位
            diff += 10;   // 借来的 1 在本位变成了 10
            borrow = 1;   // 产生了借位，标记下一轮计算要被借走
        } else {
            // 当前位够减，无需借位
            borrow = 0;   // 重置借位标记
        }
        // 将当前位的结果拼接到 ans 末尾
        ans += to_string(diff);
    }

    // 在反转前，把倒序结果末尾的 0 去掉 (处理前导零)
    while (ans.size() > 1 && ans.back() == '0') {
        ans.pop_back();
    }

    // 将最终结果反转回来
    reverse(ans.begin(), ans.end());

    // 如果结果为负，添加负号
    if (negative) ans = "-" + ans;

    return ans;
}

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1. 思想

2. 算法步骤详解

3. 完整代码实现

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