7.2 KiB
C++ 算法：哈希表
一、 引言
1.1 问题引入：字符串的查重
【例17-3 字符串哈希】给定 N 个字符串，求共有多少个不同的字符串。
常规思路：每拿到一个新字符串，都去已有的列表中从头到尾比对一遍。如果字符串数量达到十万、百万级别，这种时间复杂度为 O(N^2) 的方法必将超时。
我们需要看一眼字符串的名字，就能瞬间知道它应该放在哪里，以及它是否已经存在。
1.2 核心思想：图书管理员
想象你是一个图书管理员，面前有海量的书（字符串）。你不想每次都跑遍整个图书馆找书。你希望有一个规则，让你一看到书名，就能立刻算出它应该放在编号为几的书架上。
- 字符串 -> (通过某个神奇规则) -> 唯一的书架编号
这个神奇的规则，就是哈希函数。通过它，我们可以将查找的时间复杂度从线性的 O(N) 降低到近乎 $O(1)$。
二、 核心原理解析
一个完整的哈希表系统，由两个核心部分组成：哈希函数 和 桶数组（加冲突解决机制）。
2.1 哈希函数：将字符串变成数字
我们要解决的第一个问题是：如何把一个字符串（如 "abc"）转换成一个唯一的数字索引（键值/哈希码）？
- 错误思路：直接将字符的 ASCII 码相加。这样
"abc"和"cba"的结果一样，会导致严重的混淆。 - 正确思路：字符串哈希 (进制转换法)。位置很重要！就像十进制的
123(1\times10^2 + 2\times10^1 + 3\times10^0)。我们把字符串看作一个 P进制数。
哈希公式：hash("abc") = ('a' * P^2 + 'b' * P^1 + 'c' * P^0) % MOD
P通常取质数（如 131），MOD取一个很大的质数（如 $10^9 + 7$）以防止溢出并压缩数值范围。
代码实现（迭代法）：
我们不需要真去算 P 的次方，只需像从高位读数一样，每次将旧结果乘以 $P$，再加上新字符即可。
const int P = 131;
const long long MOD = 1e9 + 7;
int hash_string(const string& str) {
long long h = 0;
for (char c : str) {
h = (h * P + c) % MOD; // 迭代公式
}
return h;
}
2.2 桶数组与哈希冲突
算出哈希值后，我们需要把它放入实际的存储空间——**桶数组 **。
为了把巨大的哈希值塞进有限的数组里，我们必须进行取模运算：index = hash_val % SIZE（SIZE 为桶数组的大小）。
哈希冲突：
根据鸽巢原理，必定会有两个不同的字符串，计算出的 index 完全相同。这就好比图书管理员发现，两本不同的书被分配到了同一个书架号。难道我们直接扔掉一本吗？
2.3 解决冲突：链地址法
遇到冲突时，最经典的解决方案是**链地址法 **。 书架不能只放一本书了。我们在每个书架的位置放一个“箱子”或“链表”。所有被分配到这个书架号的书，统统扔进这个箱子里。
数据结构设计：
// SIZE 是桶的数量
// vector<string> 就是那个"箱子"，里面可以装多本哈希值冲突的书
vector<vector<string>> hashTable(SIZE);
查找/插入流程：
- 计算新字符串
s的下标：index = hash_string(s) % SIZE。 - 直接走到第
index个箱子前。 - 遍历这个箱子
hashTable[index]。- 如果找到了
s，说明重复了，什么都不做。 - 如果找遍了箱子也没找到，说明是个全新的字符串，把它装进去：
hashTable[index].push_back(s)。
- 如果找到了
只要哈希函数设计得好，冲突就会很少，每个箱子里的书极少，查找速度依然是 $O(1)$。但如果哈希函数很糟，所有书都挤在一个箱子里，哈希表就会退化成一个长数组，查找速度降回 $O(N)$。
三、 STL: unordered_map
手写哈希表能深刻理解原理，但在实战中，C++ 标准库（STL）已经为我们准备好了封装的哈希表——unordered_map。
它隐藏了复杂的哈希函数计算、内存分配和冲突处理，提供了一套极简、高效的操作接口。
3.1 定义与核心特性
- 头文件：
#include <unordered_map> - 特性：键（Key）到值（Value）的映射，键是唯一的。内部元素是无序的。
- 定义语法：
unordered_map<KeyType, ValueType> umap;- 例如：
unordered_map<string, int> count;（通常用于统计字符串出现的次数）
- 例如：
3.2 操作符：[]
当我们写下 umap[key] 时，会发生：
-
如果
key已经存在： 它返回该key对应的值（Value）的引用。你可以直接读取或修改它。cout << umap["apple"];对应输出 apple 的数量umap["apple"]++;对应 apple 的数量加 1 -
如果
key不存在（重要）： 它会自动在哈希表中创建一个新的键值对(key, 默认值)！如果是int，默认值就是 0。umap["banana"]++;// 如果原本没有 banana，它会创建并设为int类型的初始值 0，然后执行++变成1。
3.3 其他常用成员函数
- 查找：
umap.count(key)。存在返回1，不存在返回0。比[]更安全，因为count不会自动创建不存在的键。 - 插入：
umap.insert({"apple", 10})。如果键已存在，插入会失败。 - 删除：
umap.erase(key)。删除指定键的元素。 - 状态：
umap.size()（元素个数），umap.empty()（是否为空）。
3.4 遍历
使用基于范围的 for 循环遍历，每次拿到的是一个 pair（包含 .first 和 .second）。
unordered_map<string, int> fruit = {{"apple", 5}, {"banana", 3}};
for (const auto& pair : fruit) {
cout << "水果: " << pair.first << ", 数量: " << pair.second << endl;
}
四、 案例：Cities and States (B0250)
题意简述：寻找特殊的城市对。城市1的前两个字母 == 城市2的州代码，且 城市2的前两个字母 == 城市1的州代码，且两者不在同一个州。
int main() {
int n;
cin >> n;
// 键：组合字符串， 值：该组合出现的次数
unordered_map<string, int> counts;
long long ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
string city, state;
cin >> city >> state;
string city_prefix = city.substr(0, 2); // 截取前两个字母
if (city_prefix != state) { // 必须来自不同的州
string self_key = city_prefix + state; // 我自己的特征
string partner_key = state + city_prefix; // 我需要的伴侣特征
// 查找伴侣：去哈希表里找，我需要的伴侣之前出现了几次？
// 注意利用了 [] 运算符的自动创建特性，如果不存在就返回0，不会报错
ans += counts[partner_key];
// 登记自己：把自己加入哈希表，供后面的城市查找
counts[self_key]++;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}