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C++ 算法讲义：栈 (Stack)

1. 引言

• 问题引入： 想象你在餐厅洗盘子。客人们不断把用过的盘子堆在桌上，你每次洗的时候，是从这叠盘子的最底端抽，还是从最顶端拿？显然，你只能拿走最后放上去的那个。
• 价值： 这种“后来者居上”的逻辑在计算机世界无处不在：浏览器的“后退”按钮、编辑器的“撤销”功能 (Ctrl+Z)、甚至复杂的表达式求值和函数调用，背后都是栈在支撑。它是掌握高级数据结构（如树、图）的敲门砖。
• 学习目标： 理解栈的 LIFO (后进先出) 原理，学会手动模拟栈以及使用 C++ STL 标准库中的 stack。

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2. 核心思想

• 栈 (Stack) 是一种遵循“后进先出”（Last In, First Out，简称 LIFO）原则的线性数据结构。
  • 入栈 (Push)：把新元素放到最顶端。
  • 出栈 (Pop)：把最顶端的元素移走。
  • 栈顶 (Top)：当前最后进入、最上面的那个元素。

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3. 代码实现

方法一：手动数组模拟

使用数组 S[] 存数据，用变量 top_ptr 指向栈顶下标（初始为 -1）。

int S[100];
int top_ptr = -1; // 初始为空

void push(int x) {
    top_ptr++;      // 腾出地方
    S[top_ptr] = x; // 放下盘子
}

void pop() {
    if (top_ptr != -1) top_ptr--; // 逻辑删除：指针下移，下次push会覆盖旧数据
}

int top() {
    return S[top_ptr]; // 返回当前的“顶端”
}

方法二：使用 C++ STL 标准库 (推荐用法)

实际开发中，我们直接调用 #include <stack>。

#include <iostream>
#include <stack> //栈的头文件
using namespace std;

int main() {
    stack<int> s; // 定义一个整数栈
    
    s.push(10);   // 入栈
    s.push(20);
    
    if (!s.empty()) { // 访问前务必检查是否为空！
        cout << "栈顶元素: " << s.top() << endl; // 输出 20
    }
    
    s.pop(); // 弹出 20
    return 0;
}

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4. 经典应用

A. 括号匹配 (例 15-5)

括号匹配的本质是最近匹配原则：最后打开的左括号，必须最先被闭合。

核心逻辑拆解

我们可以把栈想象成一个“待完成任务清单”：

1. 遇到左括号 ( [ {：
   • 操作：s.push(ch)。
   • 含义：你许下一个承诺，后面必须有一个对应的“盖子”来找它。
2. 遇到右括号 ) ] }：
   • 第一步：检查是否有盒子。 如果此时栈是空的（s.empty()），说明你手里拿着盖子却没盒子，直接判定 非法。
   • 第二步：检查类型。 看一眼栈顶 s.top()。如果我手里是 ]，栈顶必须是 [。
     • 匹配：s.pop()。说明这个盒子成功盖好了，从清单中划掉。
     • 不匹配：比如 ( ]，直接判定 非法。

当整个字符串读完后，必须检查栈是否为空：

• 如果 s.empty() 为真，说明所有承诺都兑现了 \rightarrow 成功!
• 如果栈里还剩东西，说明有的括号“开了口却没盖上” \rightarrow 非法。

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B. 后缀表达式 (例 15-6)

后缀表达式（又称逆波兰表达式）最大的魅力在于：它不需要括号，也不需要考虑加减乘除的优先级，因为位置已经决定了一切。

步骤：

假设我们要计算：3 4 2 * + 5 -

1. 扫描到数字：
   • 直接 s.push(num)。
   • 注意：在代码实现时，如果输入是 123. 这种带点的格式，记得用循环把 '1','2','3' 拼接成整数 123 再入栈。
2. 扫描到运算符（如 +, -, \*, /）：
   • 关键动作：从栈中弹出两个数。
   • 注意顺序：
     • 第一个弹出的是右操作数 b = s.top(); s.pop();
     • 第二个弹出的是左操作数 a = s.top(); s.pop();
   • 计算并将结果压回：计算 a \text{ 运算符 } b 的结果，然后 s.push(result)。
3. 扫描到终止符 @：
   • 此时栈顶剩下的唯一一个数字，就是最终答案。

为什么第一个弹出的是右操作数？

看这个例子：10 2 / (即 10 \div 2)

• 栈里先入 $10$，后入 $2$。
• 弹出第一个数是 $2$（右边），第二个数是 $10$（左边）。
• 计算 $10 / 2 = 5$。如果顺序反了，变成 2 / 10 就全错了！

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5. 总结

• 要点回顾：
  • 栈是 LIFO（后进先出）。
  • stack 的常用操作：push (入), pop (出), top (看栈顶), empty (判空)。
  • 注意：pop() 和 top() 前一定要判断栈是否为空，否则程序会崩溃。