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C++ 算法：图论（一）- 图的基本概念与模型 讲义
一、 引言
1.1 问题引入：从校园地图到数据结构
我们已经学习了线性结构（如数组、链表）和树形结构（如二叉树）。前者模拟了“一对一”的关系，后者模拟了“一对多”的层次关系。但现实世界充满了更为复杂的联系。
例如校园地图：教学楼、食堂、图书馆、体育馆等建筑散布其间，复杂的道路网将它们连接起来。现在，我们面临一些实际问题：
- 如何找到从大门口到图书馆的最短路径？
- 如何规划一条路线，可以不重复地走完所有关键道路？
- 如果某个路口正在施工，从A到B是否还有其他路径可以到达？
这些问题，都无法用简单的线性或树形结构来描述。我们需要一种新的数据结构，它能专门模拟这种“多对多”的复杂网络关系。这个结构，就是我们今天要学习的——图（Graph）。
1.2 价值阐述：为什么图论很重要？
图，是描述“多对多”关系的最强模型。它的应用无处不在：
- 社交网络：每个人是一个点，好友关系是一条线，构成一张巨大的社交图。
- 交通网络：城市是点，公路、铁路、航线是线，构成了交通图。导航软件的核心就是图算法。
- 计算机网络：路由器、服务器是点，网线是线，构成了计算机网络拓扑图。
二、 核心思想：从具象到抽象
2.1 思路铺垫
对于校园地图的例子。
- 地图上的每一个关键地点（大门、教学楼、食堂...），我们把它抽象成一个点。
- 连接两个地点之间的每一条道路，我们把它抽象成一条线。
通过这种方式，一张现实地图，就被简化成了一个由“点”和“线”组成的数学图形。这就是图的本质。
2.2 图的数学定义
在数学和计算机科学中，我们对图有更精确的定义：
一个图 G 是一个二元组 (V, E)，记为 G = (V, E)。
V(Vertex Set)：一个非空的顶点集合。每个顶点代表一个实体或对象。E(Edge Set)：一个边的集合。每条边连接V中的两个顶点，代表它们之间存在某种连接关系。
示例：
对于上图 G：
- 顶点集合 V = {1, 2, 3, 5}
- 边集合 E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5)}
2.3 图的核心组成元素
-
顶点 (Vertex)
- 也称为节点。在图中，它就是那些独立的“点”，用于代表现实世界中的事物。
- 例如：校园地图中的“建筑物”，社交网络中的“用户”，交通网络中的“城市”。
-
边 (Edge)
- 连接两个顶点的“线”，用于表示两个顶点（事物）之间的特定关系。
- 例如：地图中的“道路”，社交网络中的“好友关系”，交通网络中的“航线”。
三、 图的分类与属性
现实世界的关系是多种多样的，因此图也有不同的类型和属性来描述它们。
3.1 无向图
- 定义：图中的每条边都是双向的。如果从顶点u到顶点v有一条边，那么也必然可以从v回到u。边的表示用圆括号
(u, v)，且(u, v)与(v, u)代表同一条边。 - 现实类比：双向通行的马路、互为好友的社交关系。
- 相关术语：度
- 一个顶点的度，是指与该顶点直接相连的边的数量。
- 示例：在 讲义 2.2 节 的图中，顶点2的度为3，因为它连接了1、3、5三个顶点。
3.2 有向图
- 定义：图中的每条边都是单向的，具有明确的方向性。边的表示用括号来表示
<u, v>，它表示一条从u出发，指向v的边，这与<v, u>是两条完全不同的边。 - 类比：单行道、社交网络中的“关注”关系（A关注B，不代表B一定关注A）。
- 相关术语：入度 与 出度
- 一个顶点的入度：指指向该顶点的边的数量。
- 一个顶点的出度：指由该顶点出发指向其他顶点的边的数量。
3.3 带权图
- 定义：图中的每条边都被赋予一个数值，这个数值称为权重 或成本。这个权重可以代表各种现实意义。
- 边权：边的权重。
- 例如：地图中道路的长度或通过所需时间；网络中传输数据的带宽或延迟；交通网络中的票价或距离。
- 点权：类似地，顶点也可以被赋予权重，代表该点自身的某种属性值（例如，一个城市的人口，一个景点的好评度）。
3.4 简单图
在大多数算法问题中，我们处理的图都是简单图，它满足两个条件：
- 不包含自环：即一条连接顶点和其自身的边。
- 不包含重边：即连接同一对顶点的多条边。
我们后续的讨论，如无特殊说明，都将基于简单图。
四、 图的拓扑属性与概念
除了基本的分类，图还具有一些描述其整体结构与连接特性的概念。
**4.1 连通性 **
- 连通：若图中从顶点u到顶点v存在一条通路（可以经过若干中间顶点），则称 u 和 v 是连通的。
- 连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点都是连通的，那么这个图被称为连通图。反之，如果图中存在至少一个“孤岛”，则为非连通图。
- 强连通图：这个概念专属于有向图。如果一个有向图中，对任意两个顶点u和v，都同时存在从u到v的路径 和 从v到u的路径，则称该图为强连通图。
4.2 完全图
- 定义：图中任意两个不同的顶点之间都存在一条边的图，称为完全图。完全图是边数达到最大值的最“稠密”的图。
- 无向完全图：一个有n个顶点的无向完全图，其边数为
e = n * (n - 1) / 2。 - 有向完全图：一个有n个顶点的有向完全图，任意两点间都存在方向相反的两条边，其边数为
e = n * (n - 1)。
4.3 路径
- 路径：在图中，从一个起点到一个终点所经过的顶点序列，就是一条路径。
- 最短路径：在一个带权图中，连接两个顶点的所有路径中，路径上各边权重之和最小的那一条路径，被称为最短路径。这是图论算法中一个非常核心、经典的问题。
五、 总结
- 图的本质：图是用于描述事物间“多对多”关系的数学模型，由**顶点(Vertex)和边(Edge)**构成，即
G = (V, E)。 - 核心分类：
- 无向图：边是双向的，关系是相互的。顶点的核心属性是度。
- 有向图：边是单向的，关系有明确方向。顶点的核心属性是入度和出度。
- 重要属性：
- 带权图：边上附有数值（权重），代表成本、距离、时间等。
- 拓扑概念：
- 连通性：描述了图中顶点间路径的可达性，分为连通图、强连通图等。
- 完全图：一种边最稠密的特殊图，任意两点间都直接相连。
- 路径：是图的遍历基础，而最短路径是图算法的核心应用之一(之后的课程会详细讲解)。